$\int e^{x+e^x}dx=?$

প্রদত্ত সমস্যাটি হলো একটি ইন্টিগ্রেশন (সমাকলন) এর সমস্যা। এই ধরনের ইন্টিগ্রেশন সমাধানের জন্য প্রায়শই প্রতিস্থাপন পদ্ধতি (Substitution method) ব্যবহার করা হয়, যেখানে একটি ফাংশনকে অন্য একটি চলক (variable) দ্বারা প্রতিস্থাপন করে ইন্টিগ্রেশনকে সরল করা হয়।

দেওয়া আছে, ইন্টিগ্রেশন করতে হবে: \(\int e^{x+e^x} dx\)

প্রথমে, ইন্টিগ্র্যান্ডকে (যে রাশিকে ইন্টিগ্রেশন করতে হবে) বিশ্লেষণ করি:

\(e^{x+e^x}\) কে আমরা সূচকের নিয়ম অনুযায়ী \(\color{blue}{e^x \cdot e^{e^x}}\) লিখতে পারি।

এখন ইন্টিগ্রেশনটি দাঁড়ায়: \(\int e^x \cdot e^{e^x} dx\)

এখানে আমরা প্রতিস্থাপন পদ্ধতি ব্যবহার করব।

ধরি, \(u = e^x\)

এখন, \(u\) এর সাপেক্ষে \(x\) এর অন্তরীকরণ (differentiation) করি:

\(\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(e^x)\)

\(\frac{du}{dx} = e^x\)

সুতরাং, \(du = e^x dx\)

এখন ইন্টিগ্রেশনটিতে \(u\) এবং \(du\) এর মান বসিয়ে পাই:

\(\int e^x \cdot e^{e^x} dx = \int e^u du\)

আমরা জানি, \(e^u\) এর ইন্টিগ্রেশন হলো \(e^u\)।

তাহলে, \(\int e^u du = e^u + C\)

যেখানে \(C\) হলো সমাকলন ধ্রুবক (constant of integration)।

এখন, \(u\) এর আসল মান \(e^x\) ফেরত বসিয়ে পাই:

\(e^u + C = e^{e^x} + C\)

সুতরাং, \(\int e^{x+e^x} dx = e^{e^x} + C\)

প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে, অপশন 2 এর সাথে আমাদের প্রাপ্ত ফলাফল মিলে যায়।